La spiegazione in matematica: due approcci differenti ad un concetto sfuggente

I matematici di professione concordano sul fatto che vi sono dimostrazioni che non si limitano ad assicurare la correttezza di un enunciato matematico, ma che spiegano anche il perché della sua correttezza. Queste dimostrazioni sono note come “dimostrazioni esplicative”. Una domanda importante in filosofia della matematica è cosa renda una dimostrazione esplicativa o, in altre parole, quale sia la differenza fra una dimostrazione esplicativa e una che non lo è. Le risposte tradizionali a questa domanda, benché per certi versi attraenti, si sono mostrate, almeno in parte, inadeguate. Nella letteratura più recente, possiamo individuare due approcci dominanti: uno tipicamente epistemologico e un altro che chiamerei ontologico. Il primo tende a identificare le dimostrazioni esplicative con quelle che riescono a dissipare la sorpresa che talvolta accompagna un risultato matematico, mostrando come esso fosse prevedibile. Il secondo tenta di formulare una nozione di dipendenza matematica e di definire una dimostrazione esplicativa in virtù di essa.

Presenterò innanzitutto questi due approcci teorici e poi mostrerò come essi, benché possano apparire complementari, diano luogo a teorie molto distanti e difficilmente compatibili. Inoltre solleverò dei dubbi sulla capacità di entrambi di catturare completamente ciò che si intende per ‘esplicativo’ in matematica.